Математика на думите - VIII - Групите

VIII.    Групите.
Деф. Групата е множество Г , което е затворено за определена операция „*”.
Заб.Очевидно, Г-8 и Г-12 са групи.
Заб.Отвореното общество не е група.
Заб.Масоните са затворени, може би са група.
Заб. Политическите групи и групите от затворници имат повече общо отколкото политиците и затворниците.
Затворено означава, че има свойствата асоциативност, идентичност и обратимост.
Асоциативност е свойството както и да наредиш скобите около три елемента в операцията, резултатът да е същият. Дали а ще е с бе в скобите и це ще наднича отвън, или бе и це ще са вътре, а а ще е отвън – резултатът ще е все същият.

a*(b*c) = (a*b)*c

Заб. Както и да наредиш хорото, то все ще се танцува по един и същ начин.
Заб. Няма значение кой изпада от скобите, защото е вътре в групата.
Заб. Всяка група е и асоциация, но не всяка асоциация е група.
Идентичност е когато групата се върти около елемент, който я определя. Елементът на идентичност е този, който определя всички останалите елементи, всеки, който е в операцията с него остава същия, без значение как са наредени двамата.

а*е =е*а = а

Заб. Елементът на идентичност не променя идентичността, той я определя.
Заб. С него оставаш същия, следователно той няма идентичност или всички имат идентичност спрямо него.
Заб. В свят, в който всеки иска да те промени, този, който те оставя същият е твой благодетел и крепител на групата.
Заб. Няма по – прост от елемента на идентичност, но на него крепим сложността си.
Обратимост е когато в множеството има равновесие – силата на елемента на идентичността се уравновесява със силата на обратния елемент.
Обратен елемент е този елемент, който обръща всеки друг елемент в елемент на идентичността, без значение как са наредени двамата.

a*b = b*a = e

Заб. Обратният елемент отнема идентичността.
Заб. В свят, в който групата с едната ръка дава идентичност, с другата я отнема, единственото важно е да не се включваш в операция „*” с обратния елемент, ако искаш да запазиш себе си. Ето защо в много групи хората странят от обратния елемент.
Заб. За да има група, множеството трябва да има и елемент на идентичност и обратен елемент, които се уравновесяват и взаимно потвърждават. Някой трябва да дава идентичност в групата и някой трябва да я отнема, иначе не може да има група.
Заб. В свят, в който само се дава или само се отнема, групи не могат да съществуват, множествата не могат да бъдат затворени за която и да е операция.
Заб. Ако искате да имате идентичност като група, трябва да се затворите спрямо другите елементи и да давате, но и да отнемате идентичност в групата. Модерирането е неизбежна дейност във всяка група.

Следствие 1. Нацията има смисъл, ако е група – затворена по отношение на патриотизма - не може да си част от нацията и да обичаш всички нации еднакво, тогава от тях не би имало смисъл. Нацията, обаче е група, само ако има националисти и нихилисти в нея.
Следствие 2. Мафията е група, но не е нация, защото е затворена по отношение на операция, нямаща общо с патриотизма.
Следствие 3. Народът е мафия, защото е затворен по отношение на традиции, обичаи, култура, език, следователно е група, но не е нация.
Заб. Народ = „Ние сме заедно, защото си приличаме”, Нация = „Ние сме заедно, защото се обичаме на базата на това, че си приличаме”.
Следствие 4.  Глобалното общество не е група, а множество, т.е. хаос.
Следствие 5. Тайните общества са групи.
Следствие 6. Музикалните групи невинаги са групи – понякога в тях всички елементи са обратни един на друг.

Как се прави преход от група в група?
Ако имаме група Г и група Х, най – лесно може да се мине от едната в другата, ако имаме т.нар. групов хомоморфизъм.
Деф. Групов хомоморфизъм – това е групово извращение, при което функцията на пренасяне може да вземе два елемента в скобките, докато правят операция „*” и да ги пренесе със същия резултат, ако два пъти ги пренесе поотделно в операция „*” със себе си.

f(a*b)=f(a)*f(b)

Заб. Груповият хомоморфизъм се пренася от група в група, като навик, от който не можеш да се отървеш, защото извращенията са заразни.

Има ли по – голямо извращение от хомоморфизма?
Има и това е комутативността.
Деф. Комутативност – кой кому прави „*” няма значение. Дали а е с бе или бе е с а, все един и същи е резултатът.
a*b = b*a
Заб. Комутативността е още и комудадивност. Няма значение кой кому дава, важното е да се дава.
Заб. Комутативността в секса е извращение, но в даването е милосърдие.

Какви групи има:
-    Пермутационни групи – групи, в които мутацията е достигнала нивото на пермутация, там нареждат хорото по всички възможни начини и танцуват до припадък.
-    Трансформационни групи – Това са групи, в които мутацията не е прогресирала дотам, че хорото да наруши вътрешната структура на пространството, в което се изпълнява, т.е. не се танцува до припадък.
-    Симетрични групи – групи, които запазват симетрията на танца.


За хомоморфизма, изоморфизма, ядрото на извращенията и всички други групови чудеса ще пишем отделно.