Задача за монах (за 6-ти годишни деца)

От математическа гледно точка - да има такава точка. При положение, че той изминава едно и същоразстояние, за едно и също време, той трабва да минава през средата на "отсечката" всеки ден по едно и също време. Но... Практически това е невъзможно, защото монахът не може да се движи всеки ден с абсолютно една и съща скорост, може да спира и да си почива на различни места и т.н.

В задачата няма това, че движението на монаха е равномерно! Освен това то може да бъде произволно всеки ден и всеки час през деня: може и да спира и да почива и да крача с различна скорост.

Не бива да допълнявате условията на задачата! Това е същественно - всичкото е произволно, ако не е посочено обратното.

Много интересна задача! Преди да се опитаме да я решим, аз с образователна цел ще я напиша отново, заради уговорката ми с Марк да му посочвам леките разминавания с българския език.

Има една планина. На върха й се намира манастир, а друг манастир се намира долу, в подножието й.

От долния монастир към горния води една пътека (произволна).
Сутринта монахът тръгва от долния манастир и вечерта на същия ден стига до горния. На следващото утро той излиза от горния манастир и след ден пътуване,вечерта, стига до долния.

След това всичко се повтаря.

Въпросът е:
Винаги ли има такава точка на пътеката, в която монахът е бил вчера точно по същото време, както и днес.

Отговорът трябва да е обоснован.

Марк, виж дали не съм допуснала някоя грешка при редактирането!

Така, да разсъждаваме логически.

Монахът има единия ден – т. е. вчера, път в посока отдолу нагоре, а на другия ден, т. е. днес – път в посока отгоре надолу. Ако начертаем двата пътя, при всички положения ще има точка на пресичане, която точка означава, че той в определен момент е бил на едно и също място.

Удивително! Гениален отговор е дало това момче!

Моето решение не изисква непременно да са тръгнали едновременно. Началният момент може да бъде произволен час, в който монахът още не е тръгнал (и през 1-я, и през 2-я ден). А то общо взето и аз ги наслагвам двата дни.

Но за едно 6-годишно дете наистина отговорът му е перфектен съобразно знанията. Просто ми е трудно да се върна на това ниво, защото предавам в гимназия и съм обременен с много знания. Между другото не съм математик :)

Просто Вие сте написали тука за правоъгълник, а това означава синхронизирани тръгване и пристигане на "двата" монаха. Ако тръгването и пристигането на "всеки" монах не са синхронизирани, трябва да ставя дума за трапеция.

И още едното е:
НАЧАЛЬНИЯ МОМЕНТ НА ТРЪГВАНЕ ПОНЕ НА ЕДИН ОТ МОНАСИТЕ ТРЯБВА ДА БЪДЕ НЕ ПРЕДИ ТРЪГВАНЕТО НА ДРУГИЯ (ТОВА БИ ОЗНАЧАВАЛО ТОЧНО ТОВА, ЧЕ ТЕ МОГАТ ДА ТРЪГНАТ САМО ЕДНОВРЕМЕННО!), А ПРЕДИ ПРИСТИГАНЕТО МУ (НА ДРУГИЯ) В МАНАСТИР, КОЙТО Е ЦЕЛТА НА НЕГОВОТО ДНЕВНО ПЪТЕШЕСТВИЕ ПО ПЪТЕКАТА И ИЗХОДНАТА ТОЧКА НА ПЪРВИЯ МОНАХ.

А за математиката... ала момчето не бе математик, нали... ;-)
Всъщност това е пример, когато допълнителни знания на някои инструменти пречат на пряко видение.
"Да бъдете като деца!" - мъдри думи на Спасителя. 

След като не тръгват синхронно, просто вторият едно известно време въври с V=0, което ще се изрази в графиката на пътя. Няма противоречие.

Това доказателство е подходящо за деца, но на по-голяма възраст :) Марк, демонстрираш впечатляващи математически познания, а това  всява респект - в най-добрия смисъл, разбира се:)

След като доказахме, че монахът, или онези двамата - днешния и вчерашния, в едно и също време от деня се озовават на определено място, и ако знаем какво разстояние е изминато и каква е средната скорост на придвижване през всеки от двата дена, можем да определим и в кой момент монахът се намира на въпросната точка от пътеката.

Нарисувах скица на пътя. Зададох произволни стойности. Да речем разстоянието е 10 км. Единия ден монахът тръгва в 8 ч. и пристига в 21 ч., а на другия ден тръгва в 7 ч. и пристига в 18 часа. Изчисляваме средната скорост, с която се движи през двата дена поотделно.

 


За да намеря колко време от тръгването е изминало, за да се озове на тази точка, направих следното:

Означих с х времето и написах уравнение. С хикс плюс едно означих времето, при което той тръгва един час по-късно.

(х+1).0,77 + х.0,90 = 10 км
0,77.х + 0,77 + 0,90.х = 10
1,67.х = 10 - 0,77
1,67 = 9,23
х = 5,53

Превръщаме числото 5,53 в часове и минути по следния начин: 53 стотни умножаваме по 6 и след това делим на десет. Получаваме  32 шестдесети.

Тоест числото 5,53 отговаря на 5 часа и 32 минути. Това е времето, в което монахът ще се намира на точката от пътеката. Можем да пресметнем, че тогава часовникът ще показва 11 часа и 32 минути.

Такива задачи отдавна не съм решавала, така че може и да греша.

Не, не изкам да използвам функционален анализ, просто е достатъчно човек да се убеди, че няма вариант двамата да се разминат и да стигнат до другия край, без да се срещнат някъде. Времевата линия е просто за илюстрация как се развиват нещата. Така ми е по-лесно да си го представя, отколкото в едно измерение (пътеката) и двама души да се движат напред-назад по нея.

Куини, много хубава задача. И аз често взимам идея отнякъде, после я преработвам в нещо ново и полезно. Поздравления!

Не, Поли, смятане със средната скорост нищо не ни дава.
И в задачата няма въпрос за изброянето на тази точка. Това не е въможно без да знаем функционалните зависимости и без да привлечаме апарата на функционалния анализ.
Твоята грешка состои в това, че смяташ, като че ли монах се движеше със постоянната си скорост, коята се равнява на средната му скорост. А това не е така. А ако той се връщал няколко стъпки по пътеката? Тоест в някои моменти скоростта му бе отрицателна! Тогава може да се случи така, че точките ще бъдат и две! Могат да бъдат и три и четири...
Ставаше дума само за съществование на тая точка. САМО!
Доказателството на същестование на кореня на непреривна знакопременна функция се отнася към начала на математическия анализ и е точно доказательство на теоремата на Лагранж. А тук не е възможно да я дадете на деца, които нямат понятия за операцията на пределен преход и апарата, свързан с теоремите на Дедекинд и Вайерщрас

А достатъчно ли е да убеди някого? В математиката - очебийно - не! В математиката няма никакво убеждение освен доказателства. Само доказателства и нищо повече.
Как е възможно, например, да убедите някого, че изобщо няма такива цели числа h и k, че (h:k)²=2? Това е възможно само да докажете.
А можете ли да го докажете? ;-)

Марк, в последния си коментар не съм решавала оригиналната задача, а съзнателно я промених, за да видя с конкретни данни какво би се получило.

Напълно си прав за скоростта - това е постоянна скорост всъщност :)

Изобщо не си и помислям да споря с човек, който е завършил Приложна математика :)

Мисля, че решавайки задачата изпускаме една много важна подробност - задачата завършва с: "всичко се повтаря" - т.е. цялото действие не се развива в два дни, а в много по-голям период от време. В този ред на мисли е невъзможно да има точка, в която той да бъде всеки ден по едно и също време, след като времето и скоростта са произволни.

Илина, не - в това място точно Вие изпускате един момент: ставаше дума само за точка, където монахът бе вчера, а не винаги в една и същата.

Тази точка съществува винаги! Тя може да се промени всеки ден. Но - още един път: ТЯ СЪЩЕСТВУВА ВИНАГИ.

Марк, на мен също ми е трудно да го разбера, честно казано. Значи монахът вчера и днес е бил на определено място, в определено време. А утре къде ще бъде? Нали там, където е бил вчера, т. е. предишното днес? Дните са взаимозависими един от друг.

В такъв случай точката не се ли оказва, че е на едно и също място?

Ако ще вземем всека двойка на дни: вчера и днес - точката ще имаме, Но положението и зависи от това, каква точно двойката да вземем.
Например: в пятък и събота - това може да бъде точка А,
ала в събота и неделя - Б.
Но таква точка има винаги, ако вземаме всека двойка на дни, следващите еди зад другия

Аз се срещнал с теб на булевард "Екзарх Йосиф" в синоидалната книжарница вчера в пет часа, и днес в пет часа. Освен това ние сме се срещнали при входа в хотел "Искър" днес в десет часа и утре ще се срещнем в същото място в десет часа.
Това означава, че днес и вчера ние имахме среща в една и същата точка в едно и същото време - в пет часа в синоидалнатат книжарница, и днес и утре ще се срещнем в една и същатат точка в едно и същото време - при входа в хотел "Искър".
И ние, следователно, имаме точки, където бяхме вчера и днес в същото време, но точките се променяват (в зависимост от това - какъв ден е днешен, а какъв е вчерашен: в първия случай това бе синоидалната книжарница, а във втория - вход на хотел "Искър" (разбирам, че те са не много далеч една от другата!)

Тук няма нищо особено премъдро.

Браво, колко добре познаваш София! :)

Да, но ти говориш за две различни точки, а ако точката е само една, как да разбираме повторението?

Знам, ако не се променило това от 1976 година!

Точката е една и същата (една!) за "вчера и днес".
За "днес и утре" тя ще бъда една и същата (една!), но възможно е друга отколкото бе за "вчера и днес".

Просто утре "днес" ще бъде "вчера", а "утре" - днес", нали?

Повтарянето състои точно в това, което е описано в условието: той излиза сутринта, върви по пътеката с произволната си скорост и пристига до манастира вечерта.
И произволността се повтаря. ПРОИЗВОЛНОСТТА!

Произволността също се повтаря! ОК, разбрах :)

А какво значи на бъгарския това "Ок", което аз често срещам в български сайтове? Аз хич не знам тая дума...

От турския ли произход е? И означава ли "бял", "светел"?

Към Илина:

грешката Ви е там, че погрешно разбирате условието на задачата:
там е казано "днес и вчера", ам че Вие го разбирате като "всеки ден". А последното не е вярно по принцип.

 

Всеки ден - не, разбира се, не съществува, или пък това би значило че безкрайно множество от монасите се срещнали някъде в една и същата точка. (Ето го - мощността на инструмента!)

OK=OKay - All Correct - всичко е наред, добре, отлично

Дума от чатърския език. Прав си, че трябва да я избягваме :)